总台龙年春晚的参与感

　　让屏幕前的很多人感到兴奋

　　准备4张扑克牌，一起见证奇迹！

　　刘谦的扑克牌魔术

　　你跟着学了吗？

　　9日晚间，全网网友

　　一起撕扑克牌

　　春晚现场，撒贝宁的“现挂”

　　让全国网友都知道了

　　“小尼的扑克牌没对上”

　　你的扑克牌对上了吗？

　　说归说、笑归笑

　　这个扑克牌魔术究竟有怎样的奥秘？

　　北京大学数学科学学院

　　2021级本科生刘明昊、李新宇、殷子萦

　　2022级本科生王秭如、黄天铭、王美潭

　　2023级本科生潘浩翔、王伟圣

　　从数学的角度出发

　　带大家感受这一魔术的魅力

　　魔 术 步 骤

　　首先，准备4张扑克牌

　　跟随魔术步骤

　　来一起“见证奇迹”

　　步骤1

　　将准备好的4张扑克牌

　　平均撕成两份

　　并叠在一起

　　步骤2

　　将牌堆顶数量为

　　【名字字数】的牌

　　移至牌堆底

　　步骤 3

　　将前三张牌放在牌堆中间

　　并取出牌堆顶的牌

　　放置在一旁

　　步骤 4

　　取出牌堆顶的若干张牌

　　插入牌堆中间

　　此处选择的牌数为

　　南方人取1张，北方人取2张

　　若不确定是南方人还是北方人取3张

　　步骤 5

　　男生扔掉牌堆顶1张

　　女生扔掉牌堆顶2张

　　步骤 6

　　执行“见证奇迹的时刻”循环

　　每说一个字

　　就取出牌堆顶一张牌放置在牌堆底

　　步骤 7

　　执行如下操作

　　从牌堆顶开始

　　每次先将牌堆顶的一张牌放在牌堆底

　　再扔掉牌堆顶的一张牌

　　重复以上操作直到只剩一张牌

　　检查此牌和放置在一旁的牌是否吻合

　　若吻合，则魔术成功

　　魔 术 揭 秘

　　怎么样，你的扑克牌对上了吗？

　　下面，我们将按照步骤顺序

　　一步步为你揭秘背后的逻辑

　　步骤一

　　我们令选择的四张扑克牌分别为1234，将他们分别撕开后，产生了标号分别为1234的两套（半张）扑克牌，叠在一起后形成了从上至下标号分别为12341234的扑克牌堆。

　　步骤二

　　此时我们可以注意到，无论我们将牌堆顶的多少张牌移到堆底，得到的扑克牌堆编号（从上至下）都只会有以下几种结果：

　　12341234（名字字数被四整除）

　　23412341（名字字数模四余一）

　　34123412（名字字数模四余二）

　　41234123（名字字数模四余三）

　　观察以上可能的牌堆，我们可以发现产生的牌堆都具有以下性质：

　　1. 前四张牌和后四张牌的顺序完全一样

　　2. 前四张牌和后四张牌分别是1234的一个轮换

　　步骤三

　　从这一步开始，我们只考虑当前牌堆中排在第四及第八的两张牌，记为X，其他牌记为0。那么根据上一步的讨论，可以得到当前的牌堆形如：

　　000X000X

　　将前三张放在牌堆中间后，无论这三张放在什么位置，最终产生的牌堆都将是：

　　X000000X

　　于是乎，被选择的用于配对的牌就将是X，而另一张与之配对的牌（称为目标牌）将位于牌堆底。

　　步骤四

　　在上一步之后，牌堆的编号为000000X，于是，无论本轮中选择牌堆顶多少张牌插入牌堆中，都不会影响目标牌的位置，仍然处于牌堆底部。

　　步骤五

　　此时男生的牌堆为：00000X

　　女生的牌堆为：0000X

　　步骤六

　　通过尝试可知，在经过步骤六后将得到如下的牌堆：

　　男生：0000X0

　　女生：00X00

　　步骤七

　　通过上述揭秘

　　相信大家不难看出

　　这个魔术的背后

　　其实是一个数学上的问题

　　它被称为约瑟夫问题

　　约瑟夫问题

　　设有编号为1，2，......，n的n个人围成一个圈，从第1个人开始报数，报到m时停止报数，报m的人出圈。再从他的下一个人起重新报数，报到m时停止报数，报m的出圈......按照这个规则进行下来，直到所有人全部出圈为止。求最后留下来的人编号。

　　为了使问题简化，我们考虑n个人编号为0 ~ n-1的情况，每 m 个人退出一个人，我们称之为（n, m）问题。

　　第一个人（即编号为在模n下同余m的人）退出之后，对剩下的 n-1 个人重新编号，则新问题的k号在原问题中对应 k+m 号。因此（n, m）问题的解 J (n, m) = J (n-1, m)+m 且 J (1, m) = 1（模n意义下）。据此，通过递推的方法可以得到 J (n, m)。

　　在实践中，约瑟夫问题一般用代码进行求解。刘谦的魔术中使用的便是 m=2 的特殊情况。

　　惊 喜 彩 蛋

　　主持人尼格买提·热合曼

　　为什么对牌失败

　　一起来看背后的原因

　　根据上面的证明过程，我们不难发现：在步骤3与步骤4中，如果操作正确，每位主持人手中最底部的一张牌没有变化，而这恰好是步骤7后留下的一张牌。

　　然而，在进行步骤4时，注意尼格买提的手上动作：

　　镜头捕捉到，插牌过程中，原本位于底部的牌面花纹被另一张牌覆盖，也就是说，尼格买提并未按要求将两张牌放入中间位置，从而导致扑克牌最终匹配失败。

　　这下

　　懂了吧？

　　（不懂也没事儿，大过年的，想咋过咋过）

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